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          微积分学中“有限”“无限”的思想和方法
          时间:2018-05-03      作者:     来源:      浏览次数:

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          微积分学是现代数学的最主要基础之一,也是实际应用最为广泛的数学学科之一。

          研究的对象:(实)函数。

          基础方法(基本算法):极限。

          主要方法(主要算法):求导、积分。

          ?

          微积分学采用了一套极为独特的思想和方法,来研究函数的性质。这就是有限与无限辩证统一的思想和方法。

          ?

          一、思想方法的基础

          事物是有限与无限的辩证统一体。这正是微积分学得以成功的的客观基础。?????

          正方形面积S=44=16,?这个量目前采用的是有现形式。

          分成n=7块儿,?S=++…+=16,???????????S改写成7个数之和)

          分成n=12块儿,S=++…++…+=16,???S改写成12个数之和)

          分成n块儿,???S=++…+=16,???????????S改写成n个数之和)

          n=,?,?,…..????????????????????????S还是有限个数之和)

          考察n+∞的过程,????(S不再是有限个数之和,而是无限多个数之和

          这时,S是有限、又是无限——是有限和无限的统一体。

          极限,正是有限与无限统一的、最基础的数学概念。

          在极限的基础上,建立了连续、导数、积分、级数等更为复杂数学概念。到了这个时候,很难再区分极限是一种思想、还是一种方法?

          可以说,极限就是有限无限统一.

          ?

          二、思想方法的意义

          很多同学不理解:一个有限的东西,偏要把它搞成无限形式,何苦呢?

          抽象地讲:有限领域,有自己特有的规律性;无限领域,也有独特的规律性。

          实际地讲:有些问题,在有限领域无法解决,到了无限领域就容易了。

          例如:圆的面积问题.?(半径R

          ???????????????

          把圆等分成n6个扇形,每个扇形用三角形近似:

          ??????????????=RRsin?????????????(:三角形面积)

          ??????????????S6=3sin?????????????????(S:圆面积)??

          误差率:??????==1-??17.30%??

          把圆等分成n60个扇形.

          ???????????????=RRsin

          误差率:???????==1-?0.18%???

          把圆等分成n个扇形,考虑n??????+∞?的过程.?

          =RRsin

          ????????????????n=sin

          ????????????????=?[sin]=?[n?sin]

          =[2]=

          =??

          可见,n有限时,总有=>0.?即用三角形面积和n近似圆面积S,总有误差!

          n??????+∞?时,nS.?n无限接近S.??这个过程,就是无限领域的规律性发挥了作用。

          ?

          接下来的问题是:怎样计算=?

          我们知道:arctan1,是有限形式。

          现在,想办法使它变成无限形式!

          arctanx=?x-+-…+(-1)?n+…??(-1x1)??

          取x=1得???????????????????=1-+-…++…????????????????(*)

          ?

          (*)的意义之一:把有现形式改变成无限形式了?;蛘咚?,(*)揭示一个深刻的规律:“既是有限,又是无限!”

          (*)的意义之二:它是一个工具,借助于计算机,求,实现“要多精确,就可以多精确!”

          ?

          ????????????????????????用Matlab计算的近似值??

          n

          ?[1-+-…+]?4???

          10

          3.041?8396?1892?9403

          1,000

          3.140?5926?5383?9794

          100,000

          3.141?5826?5358?9720

          1,000,000

          3.141?5916?5358?9774????????用时0.068824″.??

          10,000,000

          3.141?5925?5358?9792????????用时0.695967″.

          100,000,000

          Out?of?memory.???

          ?

          15位的精确值

          ?

          3.141?5926?5358?979?3????

          ?

          ?

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